Bayes teorēma jeb cēloņu varbūtība

Bayes teorēma ir viens no varbūtības aprēķina pīlāriem . Tā ir teorija, ko 18. gadsimtā izvirzīja Tomass Bejs (1702-1761). Bet kāds ir šī slavenā zinātnieka pētījuma mērķis? Varbūtība nejaušā procesā izsaka attiecību starp labvēlīgo gadījumu skaitu un iespējamo gadījumu skaitu.

Ir izstrādātas daudzas varbūtību teorijas, kas nosaka mūsu eksistenci šodien. Kad mēs ejam pie ārsta, viņš izraksta zāles, kuras, visticamāk, izrādīsies noderīgas mūsu gadījumā, tāpat kā reklāmdevēji velta savas kampaņas cilvēkiem, kuri, visticamāk, iegādāsies produktu, kuru viņi vēlas reklamēt, vai tūristiem un ceļotājiem, kuri izvēlas maršrutu, kurā, iespējams, ir vismazākā rinda.

Kopējās varbūtības likums ir viens no slavenākajiem, tāpēc pirms runāt par Bayes teorēma mums būs jāvelta dažas rindiņas, lai izskaidrotu pirmo. Lai mēģinātu to saprast, vienkārši sniedziet piemēru .

Kāda ir varbūtība (P), ka šajā valstī no strādājošajiem iedzīvotājiem nejauši izvēlēta persona bezdarbnieki ?

Saskaņā ar varbūtības teoriju dati tiktu izteikti šādi:

• Varbūtība, ka persona ir sieviete: P (M)
• Varbūtība, ka persona ir vīrietis: P (H)

Zinot, ka 39% iedzīvotāju ir sievietes, mēs secinām, ka: P (M) = 039.

Tāpēc ir skaidrs, ka: P (H) = 1 – 039 = 061. Sākumā uzdotā problēma sniedz mums arī nosacītās varbūtības:

• Varbūtība, ka cilvēks ir bezdarbnieks, zinot, ka viņa ir sieviete -> P (P | M) = 022
• Varbūtība, ka cilvēks ir bezdarbnieks, zinot, ka viņš ir vīrietis – P (P | H) = 014

Izmantojot kopējās varbūtības likums mums būs:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

The . Mēs novērojam, ka rezultāts ir pusceļā starp divām nosacītajām varbūtībām (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Atklāsim Beijesa teorēmu

Tagad pieņemsim, ka pieaugušais ir nejauši izvēlēts veidlapas aizpildīšanai un tiek novērots, ka viņam nav darba. Šajā gadījumā un, ņemot vērā iepriekšējo piemēru, kāda ir varbūtība, ka šī nejauši izvēlētā persona ir sieviete -P (M | P) -?

Lai atrisinātu šo problēmu, izmantosim Beijesa teorēmu ko izmanto, lai aprēķinātu notikuma iespējamību, iepriekš par to iegūstot informāciju . Mēs varam aprēķināt notikuma A varbūtības, zinot, ka tas atbilst noteiktiem raksturlielumiem (B).

Šajā gadījumā runa ir par iespējamību, ka veidlapas aizpildīšanai nejauši izvēlētā persona ir sieviete. Bet tā

Beijesa teorēmas formula

Tāpat kā jebkurai citai teorēmai, mums ir nepieciešama formula.

Šķiet sarežģīti, bet visam ir izskaidrojums. Domāsim pa daļām. Ko nozīmē katrs burts?

B ir notikumspar kuru mums ir sākotnējā informācija.
• L burts A (n) attiecas uz dažādiem nosacītiem notikumiem.
• Skaitītāja daļā mums ir nosacītā varbūtība . Tas attiecas uz varbūtību, ka kaut kas (notikums A) notiks, zinot, ka notiks arī cits notikums (B). To definē kā P (A | B) un izsaka kā: A iespējamība dotajam B .
• Saucējā mums ir P (B) ekvivalents un tāds pats skaidrojums kā iepriekšējā punktā.

Piemērs

Atgriežoties pie iepriekšējā piemēra pieņemsim, ka pieaugušais ir nejauši izvēlēts anketas aizpildīšanai un tiek novērots, ka viņš ir bezdarbnieki . Kāda ir iespēja, ka šī izvēlētā persona būs sieviete?

Mēs zinām, ka 39% no aktīvajiem iedzīvotājiem ir sievietes, bet pārējie ir vīriešiem . Mēs arī zinām, ka bezdarbnieku sieviešu īpatsvars ir 22%, bet vīriešu – 14%.

Visbeidzot, mēs zinām arī to, ka varbūtība, ka nejauši izvēlēta persona ir bezdarbnieks, ir 017. Lietojot Beijesa teorēmas formulu, mēs iegūsim, ka pastāv varbūtība 05, ka nejauši izvēlēta persona no bezdarbniekiem

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Bayes teorēma izriet no saliktās un absolūtās varbūtības teorēmas savienojuma, ko mēs izskaidrojām sākumā. Tās galvenā iezīme ir tā, ka tā darbojas visās varbūtības interpretācijās.

Tā kā to var izmantot, lai aprēķinātu iemesla varbūtību, kas izraisīja notikumu tā nozīme ir tajā, kā tas vēsturiski ir ietekmējis statistikas izpēti . Mūsdienās faktiski ir zināmas divas galvenās skolas (viena frekvenistu un otra Beijesa skolas), kas kontrastē viena ar otru, sākot no šīs teorijas interpretācijas.

Noslēdzam ar ziņkāri: vai zinājāt, ka elektroniskais surogātpasts (kas no Internets e-pasta sludinājumi) vai tas darbojas, pateicoties Beijesa teorēmai?